不定方程式

编辑:婉约网互动百科 时间:2019-12-11 17:58:11
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不定方程式 indeterminate equation未知数个数多于方程个数,且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。数论中最古老的分支之一。
中文名
不定方程式
外文名
indeterminate equation
别    称
丢番图方程
有关形式
ax+by=c

不定方程式定义

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不定方程式
未知数个数多于方程个数,并且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程。数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程。

不定方程式三个问题

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研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。

不定方程式发展历史

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中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《 张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说:“鸡翁一,直钱五,鸡母一,直钱三,鸡雏三,直钱一。百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何?”。设x,y,z分别表鸡翁、母、雏的个数,则此问题即为不定方程组的非负整数解x,y,z,这是一个三元不定方程组问题。

不定方程式形式

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二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a,b,c 是整数,ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互素,即它们的最大公约数为1,(x0,y0)是所给方程的一个解, 则此方程的解可表为{(x=x0+bt,y=y0-at)|t为任意整数}。
S(≥2)元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1,…,as,n为整数,且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1,…,as的最大公约数整除n。
一类特殊的二次不定方程是x2+y2=z2,其正整数解称商高数或勾股数或毕达哥拉斯数,中国《周髀算经》中有“勾广三,股修四,经隅五”之说,已经知道 (3,4,5)是一个解。刘徽在注《九章算术》中又给出了(5,12,13),(8,15,17), ( 7,24,25),(20,21,29)几组勾股数。它的全部正整数解已在16世纪前得到。另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程x2-Dy2=1,D是非平方的正整数。利用连分数理论知此方程永远有解。
对高于二次的不定方程,相当复杂。当n>2时,xn+yn=zn没有不等于零的整数解 ,即著名的费马大定理 ,历经3个世纪 ,已由英国数学家安德鲁 ·维尔斯证明完全可以成立。
不定方程是数学数论的一个分支,它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组,其未知数的个数通常多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程,所以不定方程又称丢番图方程。1969年,莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
近年来,这个领域更有重要进展。但从整体上来说,对于高于二次的多元不定方程,人们知道得不多。另一方面,不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系,在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题,这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意,成为数论中重要的研究课题之一。
词条标签:
理学